Teorema 2.2.7. Teorema Dasar Aritmetika.

Misalkan \(n\) bilangan bulat sedemikian sehingga \(n \gt 1\text{.}\) Maka
\begin{equation*} n = p_1 p_2 \cdots p_k\text{,} \end{equation*}
dengan \(p_1, \ldots, p_k\) bilangan prima (tidak harus berbeda). Lebih lanjut, faktorisasi ini tunggal; yaitu, jika
\begin{equation*} n = q_1 q_2 \cdots q_l\text{,} \end{equation*}
maka \(k = l\) dan \(q_i\) hanyalah \(p_i\) yang urutannya disusun ulang.

Bukti.

Ketunggalan.

Untuk menunjukkan ketunggalan, kita akan menggunakan induksi pada \(n\text{.}\) Teorema ini tentu benar untuk \(n = 2\) karena dalam hal ini \(n\) prima. Sekarang andaikan hasil tersebut berlaku untuk setiap bilangan bulat \(m\) sedemikian sehingga \(1 \leq m \lt n\text{,}\) dan
\begin{equation*} n = p_1 p_2 \cdots p_k = q_1 q_2 \cdots q_l\text{,} \end{equation*}
dengan \(p_1 \leq p_2 \leq \cdots \leq p_k\) dan \(q_1 \leq q_2 \leq \cdots \leq q_l\text{.}\) Berdasarkan Lema 2.2.5, berlaku \(p_1 \mid q_i\) untuk suatu \(i = 1, \ldots, l\) dan \(q_1 \mid p_j\) untuk suatu \(j = 1, \ldots, k\text{.}\) Karena semua \(p_i\) dan \(q_i\) adalah prima, berlaku \(p_1 = q_i\) dan \(q_1 = p_j\text{.}\) Jadi, \(p_1 = q_1\) karena \(p_1 \leq p_j = q_1 \leq q_i = p_1\text{.}\) Berdasarkan hipotesis induksi,
\begin{equation*} n' = p_2 \cdots p_k = q_2 \cdots q_l \end{equation*}
mempunyai faktorisasi tunggal. Jadi, \(k = l\) dan \(q_i = p_i\) untuk \(i = 1, \ldots, k\text{.}\)

Keberadaan.

Untuk menunjukkan keberadaan, misalkan terdapat suatu bilangan bulat yang tidak dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. Misalkan \(S\) himpunan semua bilangan tersebut. Berdasarkan Prinsip Urutan Baik, \(S\) mempunyai bilangan terkecil, misalkan \(a\text{.}\) Jika satu-satunya faktor positif dari \(a\) adalah \(a\) dan \(1\text{,}\) maka \(a\) prima, suatu kontradiksi. Jadi, \(a = a_1 a_2\) dengan \(1 \lt a_1 \lt a\) dan \(1 \lt a_2 \lt a\text{.}\) Tidak berlaku \(a_1\in S\) maupun \(a_2 \in S\text{,}\) karena \(a\) merupakan elemen terkecil dalam \(S\text{.}\) Jadi,
\begin{align*} a_1 & = p_1 \cdots p_r\\ a_2 & = q_1 \cdots q_s\text{.} \end{align*}
Oleh karena itu,
\begin{equation*} a = a_1 a_2 = p_1 \cdots p_r q_1 \cdots q_s\text{.} \end{equation*}
Jadi \(a \notin S\text{,}\) suatu kontradiksi.
Dalam Konteks