Ini merupakan contoh sempurna dari jenis bukti keberadaan dan ketunggalan. Pertama-tama kita harus membuktikan bahwa bilangan \(q\) dan \(r\) benar-benar ada. Kemudian kita harus menunjukkan bahwa jika \(q'\) dan \(r'\) merupakan dua bilangan lain dengan sifat tersebut, maka \(q = q'\) dan \(r = r'\text{.}\)
Keberadaan \(q\) dan \(r\).
Misalkan
\begin{equation*}
S = \{ a - bk : k \in {\mathbb Z} \text{ dan } a - bk \geq 0 \}\text{.}
\end{equation*}
Jika \(0 \in S\text{,}\) maka \(b\) membagi \(a\text{,}\) dan kita dapat mengambil \(q = a/b\) dan \(r = 0\text{.}\) Jika \(0 \notin S\text{,}\) kita dapat menggunakan Prinsip Urutan Baik. Pertama-tama kita harus menunjukkan bahwa \(S\) tak kosong. Jika \(a \gt 0\text{,}\) maka \(a - b \cdot 0 \in S\text{.}\) Jika \(a \lt 0\text{,}\) maka \(a - b(2a) = a(1 - 2b) \in S\text{.}\) Dalam kedua kasus tersebut, \(S \neq \emptyset\text{.}\) Berdasarkan Prinsip Urutan Baik, \(S\) harus mempunyai anggota terkecil, misalkan \(r = a - bq\text{.}\) Oleh karena itu, \(a = bq + r\text{,}\) dengan \(r \geq 0\text{.}\) Sekarang kita tunjukkan bahwa \(r \lt b\text{.}\) Misalkan \(r \gt b\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
a - b(q + 1)= a - bq - b = r - b \gt 0\text{.}
\end{equation*}
Dalam hal ini, \(a - b(q + 1)\) akan berada dalam himpunan \(S\text{.}\) Akan tetapi, \(a - b(q + 1) \lt a - bq\text{,}\) yang bertentangan dengan fakta bahwa \(r = a - bq\) merupakan anggota terkecil dari \(S\text{.}\) Jadi \(r \leq b\text{.}\) Karena \(0 \notin S\text{,}\) berlaku \(r \neq b\text{,}\) sehingga \(r \lt b\text{.}\)
Ketunggalan \(q\) dan \(r\).
Ketunggalan \(q\) dan \(r\text{.}\) Misalkan terdapat bilangan bulat \(r\text{,}\) \(r'\text{,}\) \(q\text{,}\) dan \(q'\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
a = bq + r, 0 \leq r \lt b \quad \text{dan}\quad a = bq' + r', 0 \leq r' \lt b\text{.}
\end{equation*}
Maka \(bq + r = bq' + r'\text{.}\) Andaikan \(r' \geq r\text{.}\) Dari persamaan terakhir diperoleh \(b(q - q') = r' - r\text{;}\) oleh karena itu, \(b\) harus membagi \(r' - r\) dan \(0 \leq r'- r \leq r' \lt b\text{.}\) Hal ini hanya mungkin jika \(r' - r = 0\text{.}\) Jadi, \(r = r'\) dan \(q = q'\text{.}\)