Kita telah mengetahui bahwa \(K\) normal dalam \(G\text{.}\) Definisikan \(\eta: G/K \rightarrow \psi(G)\) melalui \(\eta(gK) = \psi(g)\text{.}\) Pertama-tama, kita tunjukkan bahwa \(\eta\) terdefinisi dengan baik. Jika \(g_1 K =g_2 K\text{,}\) maka untuk suatu \(k \in K\text{,}\) \(g_1 k=g_2\text{;}\) akibatnya,
\begin{equation*}
\eta(g_1 K) = \psi(g_1) = \psi(g_1) \psi(k) = \psi(g_1k) = \psi(g_2) = \eta(g_2 K)\text{.}
\end{equation*}
Jadi, \(\eta\) tidak bergantung pada pemilihan wakil koset, dan pemetaan \(\eta: G/K \rightarrow \psi(G)\) terdefinisi secara unik karena \(\psi = \eta \phi\text{.}\) Kita juga harus menunjukkan bahwa \(\eta\) merupakan homomorfisma. Memang,
\begin{align*}
\eta( g_1K g_2K ) & = \eta(g_1 g_2K)\\
& = \psi(g_1 g_2)\\
& = \psi(g_1) \psi(g_2)\\
& = \eta( g_1K) \eta( g_2K )\text{.}
\end{align*}
Jelas bahwa \(\eta\) memetakan secara surjektif ke \(\psi( G)\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(\eta\) injektif, misalkan \(\eta(g_1 K) = \eta(g_2 K)\text{.}\) Maka \(\psi(g_1) = \psi(g_2)\text{.}\) Ini menyiratkan \(\psi( g_1^{-1} g_2 ) = e\text{,}\) atau \(g_1^{-1} g_2\) berada dalam kernel \(\psi\text{;}\) oleh karena itu, \(g_1^{-1} g_2K = K\text{;}\) yaitu, \(g_1K =g_2K\text{.}\)