Misalkan \(H\) adalah subgrup dari \(G\) yang memuat \(N\text{.}\) Karena \(N\) normal dalam \(H\text{,}\) maka \(H/N\) merupakan grup hasil bagi. Misalkan \(aN\) dan \(bN\) adalah elemen dari \(H/N\text{.}\) Maka \((aN)( b^{-1} N )= ab^{-1}N \in H/N\text{;}\) oleh karena itu, \(H/N\) merupakan subgrup dari \(G/N\text{.}\)
Misalkan \(S\) adalah subgrup dari \(G/N\text{.}\) Subgrup ini merupakan himpunan koset dari \(N\text{.}\) Jika \(H= \{ g \in G : gN \in S \}\text{,}\) maka untuk \(h_1, h_2 \in H\text{,}\) berlaku \((h_1 N)( h_2 N )= h_1 h_2 N \in S\) dan \(h_1^{-1} N \in S\text{.}\) Oleh karena itu, \(H\) harus merupakan subgrup dari \(G\text{.}\) Jelas bahwa \(H\) memuat \(N\text{.}\) Jadi, \(S = H / N\text{.}\) Akibatnya, pemetaan \(H \mapsto H/N\) bersifat surjektif.
Misalkan \(H_1\) dan \(H_2\) adalah subgrup dari \(G\) yang memuat \(N\) sedemikian sehingga \(H_1/N = H_2/N\text{.}\) Jika \(h_1 \in H_1\text{,}\) maka \(h_1 N \in H_1/N\text{.}\) Jadi, \(h_1 N = h_2 N \subset H_2\) untuk suatu \(h_2\) dalam \(H_2\text{.}\) Namun, karena \(N\) termuat dalam \(H_2\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(h_1 \in H_2\) atau \(H_1 \subset H_2\text{.}\) Dengan cara yang sama, \(H_2 \subset H_1\text{.}\) Karena \(H_1 = H_2\text{,}\) pemetaan \(H \mapsto H/N\) bersifat injektif.
Misalkan \(H\) normal dalam \(G\) dan \(N\) adalah subgrup dari \(H\text{.}\) Mudah diverifikasi bahwa pemetaan \(G/N \rightarrow G/H\) yang didefinisikan oleh \(gN \mapsto gH\) merupakan homomorfisma. Kernel homomorfisma ini adalah \(H/N\text{,}\) yang membuktikan bahwa \(H/N\) normal dalam \(G/N\text{.}\)
Sebaliknya, misalkan \(H/N\) normal dalam \(G/N\text{.}\) Homomorfisma yang diberikan oleh
\begin{equation*}
G \rightarrow G/N \rightarrow \frac{G/N}{H/N}
\end{equation*}
memiliki kernel \(H\text{.}\) Oleh karena itu, \(H\) harus normal dalam \(G\text{.}\)