Terkadang kita ingin menyelidiki grup-grup yang lebih kecil di dalam suatu grup yang lebih besar. Himpunan bilangan bulat genap \(2{\mathbb Z} = \{\ldots, -2, 0, 2, 4, \ldots \}\) merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Grup yang lebih kecil ini secara alami berada di dalam grup bilangan bulat terhadap penjumlahan. Kita mendefinisikan subgrup \(H\) dari suatu grup \(G\) sebagai himpunan bagian \(H\) dari \(G\) sedemikian sehingga ketika operasi grup pada \(G\) dibatasi pada \(H\text{,}\) \(H\) sendiri merupakan suatu grup. Perhatikan bahwa setiap grup \(G\) dengan sekurang-kurangnya dua unsur selalu mempunyai sedikitnya dua subgrup, yaitu subgrup yang hanya terdiri atas unsur identitas dan seluruh grup itu sendiri. Subgrup \(H = \{ e \}\) dari suatu grup \(G\) disebut subgrup trivial. Subgrup yang merupakan himpunan bagian sejati dari \(G\) disebut subgrup sejati. Dalam banyak contoh yang telah kita selidiki hingga titik ini, terdapat subgrup lain selain subgrup trivial dan subgrup tak sejati.