Bilangan bulat modulo \(n\) dan simetri suatu segitiga atau persegi panjang merupakan contoh grup. Operasi biner atau hukum komposisi pada suatu himpunan \(G\) adalah fungsi \(G \times G \rightarrow G\) yang memasangkan setiap pasangan \((a,b) \in G \times G\) dengan satu unsur tunggal \(a \circ b\text{,}\) atau \(ab\) dalam \(G\text{,}\) yang disebut komposisi dari \(a\) dan \(b\text{.}\) Suatu grup \((G, \circ )\) adalah himpunan \(G\) bersama suatu hukum komposisi \((a,b) \mapsto a \circ b\) yang memenuhi aksioma-aksioma berikut.
Hukum komposisi tersebut bersifat asosiatif. Artinya,
\begin{equation*}
(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
\end{equation*}
untuk \(a, b, c \in G\text{.}\)
Terdapat suatu unsur \(e \in G\text{,}\) yang disebut unsur identitas, sedemikian sehingga untuk setiap unsur \(a \in G\)
\begin{equation*}
e \circ a = a \circ e = a\text{.}
\end{equation*}
Untuk setiap unsur \(a \in G\text{,}\) terdapat unsur invers dalam G, yang dilambangkan dengan \(a^{-1}\text{,}\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e\text{.}
\end{equation*}