Contoh 3.2.4.
Tidak setiap himpunan dengan operasi biner merupakan grup. Sebagai contoh, jika perkalian modular kita jadikan operasi biner pada \({\mathbb Z}_n\text{,}\) maka \({\mathbb Z}_n\) bukan grup. Unsur 1 bertindak sebagai identitas grup karena \(1 \cdot k = k \cdot 1 = k\) untuk setiap \(k \in {\mathbb Z}_n\text{;}\) namun, invers perkalian untuk \(0\) tidak ada karena \(0 \cdot k = k \cdot 0 = 0\) untuk setiap \(k\) dalam \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Bahkan jika kita mempertimbangkan himpunan \({\mathbb Z}_n \setminus \{0 \}\text{,}\) kita masih belum tentu memperoleh grup. Sebagai contoh, misalkan \(2 \in {\mathbb Z}_6\text{.}\) Maka \(2\) tidak mempunyai invers perkalian karena
\begin{align*}
0 \cdot 2 & = 0 \qquad 1 \cdot 2 = 2\\
2 \cdot 2 & = 4 \qquad 3 \cdot 2 = 0\\
4 \cdot 2 & = 2 \qquad 5 \cdot 2 = 4\text{.}
\end{align*}
Berdasarkan Proposisi 3.1.4, setiap \(k\) tak nol mempunyai invers dalam \({\mathbb Z}_n\) jika \(k\) relatif prima terhadap \(n\text{.}\) Lambangkan himpunan semua unsur tak nol semacam itu dalam \({\mathbb Z}_n\) dengan \(U(n)\text{.}\) Maka \(U(n)\) adalah grup yang disebut grup satuan dari \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Gambar 3.2.5 adalah tabel Cayley untuk grup \(U(8)\text{.}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
\cdot & 1 & 3 & 5 & 7 \\
\hline
1 & 1 & 3 & 5 & 7 \\
3 & 3 & 1 & 7 & 5 \\
5 & 5 & 7 & 1 & 3 \\
7 & 7 & 5 & 3 & 1
\end{array}
\end{equation*}