Contoh 3.2.7.
Kita menggunakan \({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) untuk melambangkan himpunan semua matriks \(2 \times 2\text{.}\) Misalkan \(GL_2({\mathbb R})\) adalah himpunan bagian dari \({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) yang terdiri atas matriks-matriks yang dapat dibalik; yaitu, suatu matriks
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\end{equation*}
berada dalam \(GL_2( {\mathbb R})\) jika terdapat matriks \(A^{-1}\) sedemikian sehingga \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\text{,}\) dengan \(I\) adalah matriks identitas \(2 \times 2\text{.}\) Syarat bahwa \(A\) mempunyai invers ekuivalen dengan syarat bahwa determinan \(A\) tak nol; yaitu, \(\det A = ad - bc \neq 0\text{.}\) Himpunan matriks yang dapat dibalik membentuk grup yang disebut grup linear umum. Identitas grup tersebut adalah matriks identitas
\begin{equation*}
I =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Invers dari \(A \in GL_2( {\mathbb R})\) adalah
\begin{equation*}
A^{-1} =
\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Hasil kali dua matriks yang dapat dibalik juga dapat dibalik. Perkalian matriks bersifat asosiatif, sehingga memenuhi aksioma grup yang tersisa. Untuk matriks, secara umum tidak berlaku \(AB = BA\text{;}\) oleh karena itu, \(GL_2({\mathbb R})\) merupakan contoh lain grup nonabelian.