Kita telah mengetahui bahwa tidak ada masalah jika \(F\) merupakan lapangan hingga. Andaikan \(E\) adalah perluasan hingga dari suatu lapangan tak hingga. Kita akan membuktikan hasil tersebut untuk \(F(\alpha, \beta)\text{.}\) Kasus umum mudah diperoleh dengan menggunakan induksi matematika. Misalkan \(f(x)\) dan \(g(x)\) masing-masing adalah polinomial minimal dari \(\alpha\) dan \(\beta\text{.}\) Misalkan \(K\) adalah lapangan tempat \(f(x)\) maupun \(g(x)\) terpisah. Andaikan \(f(x)\) memiliki akar \(\alpha = \alpha_1, \ldots, \alpha_n\) dalam \(K\) dan \(g(x)\) memiliki akar \(\beta = \beta_1, \ldots, \beta_m\) dalam \(K\text{.}\) Semua akar ini bermultiplisitas \(1\text{,}\) karena \(E\) separabel atas \(F\text{.}\) Karena \(F\) tak hingga, kita dapat menemukan \(a\) dalam \(F\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
a \neq \frac{\alpha_i - \alpha}{\beta - \beta_j}
\end{equation*}
untuk setiap \(i\) dan \(j\) dengan \(j \neq 1\text{.}\) Oleh karena itu, \(a( \beta - \beta_j ) \neq \alpha_i - \alpha\text{.}\) Misalkan \(\gamma = \alpha + a \beta\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
\gamma = \alpha + a \beta \neq \alpha_i + a \beta_j;
\end{equation*}
sehingga \(\gamma - a \beta_j \neq \alpha_i\) untuk semua \(i,
j\) dengan \(j \neq 1\text{.}\) Definisikan \(h(x) \in F( \gamma )[x]\) dengan \(h(x) = f( \gamma - ax)\text{.}\) Maka \(h( \beta ) = f( \alpha ) = 0\text{.}\) Namun, \(h( \beta_j ) \neq 0\) untuk \(j \neq 1\text{.}\) Jadi, \(h(x)\) dan \(g(x)\) memiliki tepat satu faktor bersama dalam \(F( \gamma )[x]\text{;}\) yaitu, polinomial minimal \(\beta\) atas \(F( \gamma )\) harus linear, karena \(\beta\) adalah satu-satunya akar yang sama-sama dimiliki \(g(x)\) dan \(h(x)\text{.}\) Jadi, \(\beta \in F( \gamma )\) dan \(\alpha = \gamma - a \beta\) berada dalam \(F( \gamma )\text{.}\) Oleh karena itu, \(F( \alpha, \beta ) = F( \gamma )\text{.}\)