(1) Misalkan \(G(E/K) = G(E/L) = G\text{.}\) Baik \(K\) maupun \(L\) merupakan lapangan tetap dari \(G\text{;}\) jadi, \(K=L\) dan pemetaan yang didefinisikan oleh \(K \mapsto G(E/K)\) bersifat satu-ke-satu. Untuk menunjukkan bahwa pemetaan tersebut bersifat pada, misalkan \(G\) suatu subgrup dari \(G(E/F)\) dan \(K\) lapangan yang ditetapkan oleh \(G\text{.}\) Maka \(F \subset K \subset E\text{;}\) akibatnya, \(E\) merupakan perluasan normal dari \(K\text{.}\) Jadi, \(G(E/K) = G\) dan pemetaan \(K \mapsto G(E/K)\) merupakan bijeksi.
(2) Menurut Teorema
Teorema 23.1.7,
\(|G(E/K)| = [E:K]\text{;}\) oleh karena itu,
\begin{equation*}
|G(E/F)| = [G(E/F):G(E/K)] \cdot |G(E/K)| = [E:F] = [E:K][K:F]\text{.}
\end{equation*}
Jadi, \([K:F] = [G(E/F):G(E/K)]\text{.}\)
Pernyataan (3) diilustrasikan dalam
Gambar 23.2.11. Bukti sifat ini diserahkan sebagai latihan.
(4) Bagian ini memerlukan sedikit lebih banyak usaha. Misalkan \(K\) suatu perluasan normal dari \(F\text{.}\) Jika \(\sigma\) berada dalam \(G(E/F)\) dan \(\tau\) berada dalam \(G(E/K)\text{,}\) kita perlu menunjukkan bahwa \(\sigma^{-1} \tau \sigma\) berada dalam \(G(E/K)\text{;}\) yaitu, kita perlu menunjukkan bahwa \(\sigma^{-1} \tau \sigma( \alpha) = \alpha\) untuk semua \(\alpha \in K\text{.}\) Misalkan \(f(x)\) polinomial minimal dari \(\alpha\) atas \(F\text{.}\) Maka \(\sigma( \alpha )\) juga merupakan akar dari \(f(x)\) yang berada dalam \(K\text{,}\) karena \(K\) merupakan perluasan normal dari \(F\text{.}\) Jadi, \(\tau( \sigma( \alpha )) = \sigma( \alpha )\) atau \(\sigma^{-1} \tau \sigma( \alpha) = \alpha\text{.}\)
Sebaliknya, misalkan \(G(E/K)\) suatu subgrup normal dari \(G(E/F)\text{.}\) Kita perlu menunjukkan bahwa \(F = K_{G(K/F)}\text{.}\) Misalkan \(\tau \in G(E/K)\text{.}\) Untuk semua \(\sigma \in G(E/F)\text{,}\) terdapat \(\overline{\tau} \in G(E/K)\) sedemikian sehingga \(\tau \sigma = \sigma \overline{\tau}\text{.}\) Akibatnya, untuk semua \(\alpha \in K\text{,}\)
\begin{equation*}
\tau( \sigma( \alpha ) ) = \sigma( \overline{\tau}( \alpha ) ) = \sigma( \alpha );
\end{equation*}
jadi, \(\sigma( \alpha )\) harus berada dalam lapangan tetap dari \(G(E/K)\text{.}\) Misalkan \(\overline{\sigma}\) pembatasan \(\sigma\) pada \(K\text{.}\) Maka \(\overline{\sigma}\) merupakan automorfisme dari \(K\) yang menetapkan \(F\text{,}\) karena \(\sigma( \alpha ) \in K\) untuk semua \(\alpha \in K\text{;}\) jadi, \(\overline{\sigma} \in G(K/F)\text{.}\) Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa lapangan tetap dari \(G(K/F)\) adalah \(F\text{.}\) Misalkan \(\beta\) suatu elemen dalam \(K\) yang ditetapkan oleh semua automorfisme dalam \(G(K/F)\text{.}\) Secara khusus, \(\overline{\sigma}(\beta) = \beta\) untuk semua \(\sigma \in G(E/F)\text{.}\) Oleh karena itu, \(\beta\) termasuk dalam lapangan tetap \(F\) dari \(G(E/F)\text{.}\)
Terakhir, kita harus menunjukkan bahwa apabila \(K\) merupakan perluasan normal dari \(F\text{,}\)
\begin{equation*}
G(K/F) \cong G(E/F) / G(E/K)\text{.}
\end{equation*}
Untuk \(\sigma \in G(E/F)\text{,}\) misalkan \(\sigma_K\) automorfisme dari \(K\) yang diperoleh dengan membatasi \(\sigma\) pada \(K\text{.}\) Karena \(K\) merupakan perluasan normal, argumen pada paragraf sebelumnya menunjukkan bahwa \(\sigma_K \in G( K/F)\text{.}\) Akibatnya, kita memiliki pemetaan \(\phi:G(E/F) \rightarrow G(K/F)\) yang didefinisikan oleh \(\sigma \mapsto \sigma_K\text{.}\) Pemetaan ini merupakan homomorfisma grup karena
\begin{equation*}
\phi( \sigma \tau ) = (\sigma \tau)_K = \sigma_K \tau_K = \phi( \sigma) \phi( \tau )\text{.}
\end{equation*}
Kernel dari \(\phi\) adalah \(G(E/K)\text{.}\) Menurut (2),
\begin{equation*}
|G(E/F)| / |G(E/K)| = [K:F] = |G(K/F)|\text{.}
\end{equation*}
Jadi, citra dari \(\phi\) adalah \(G(K/F)\) dan \(\phi\) bersifat pada. Dengan menerapkan Teorema Isomorfisma Pertama, diperoleh
\begin{equation*}
G(K/F) \cong G(E/F) / G( E/K )\text{.}
\end{equation*}