Banyak hasil yang baru saja kita buktikan bergantung pada fakta bahwa polinomial \(f(x)\) dalam \(F[x]\) tidak memiliki akar berulang dalam lapangan pemisahnya. Jelas bahwa kita perlu mengetahui dengan tepat kapan suatu polinomial terfaktorkan menjadi faktor-faktor linear yang berbeda dalam lapangan pemisahnya. Misalkan \(E\) adalah lapangan pemisah dari suatu polinomial \(f(x)\) dalam \(F[x]\text{.}\) Andaikan \(f(x)\) terfaktorkan atas \(E\) sebagai
\begin{equation*}
f(x) = (x - \alpha_1)^{n_1} (x - \alpha_2)^{n_2} \cdots (x - \alpha_r)^{n_r} = \prod_{i = 1}^{r} (x - \alpha_i)^{n_i}\text{.}
\end{equation*}
Kita mendefinisikan
multiplisitas suatu akar
\(\alpha_i\) dari
\(f(x)\) sebagai
\(n_i\text{.}\) Akar bermultiplisitas 1 disebut
akar sederhana. Ingat bahwa polinomial
\(f(x) \in F[x]\) berderajat
\(n\) disebut
separabel jika memiliki
\(n\) akar yang berbeda dalam lapangan pemisahnya
\(E\text{.}\) Secara ekuivalen,
\(f(x)\) separabel jika terfaktorkan menjadi faktor-faktor linear yang berbeda atas
\(E[x]\text{.}\) Suatu perluasan
\(E\) dari
\(F\) disebut
perluasan separabel dari
\(F\) jika setiap elemen dalam
\(E\) merupakan akar suatu polinomial separabel dalam
\(F[x]\text{.}\) Ingat pula bahwa
\(f(x)\) separabel jika dan hanya jika
\(\gcd( f(x),
f'(x)) = 1\) (
Lema 22.1.5).