Andaikan \(E\) merupakan perluasan lapangan hingga sejati dari bilangan kompleks. Karena setiap perluasan hingga dari lapangan berkarakteristik nol merupakan perluasan sederhana, terdapat \(\alpha \in E\) sedemikian sehingga \(E = {\mathbb C}( \alpha )\text{,}\) dengan \(\alpha\) suatu akar dari polinomial taktereduksi \(f(x)\) dalam \({\mathbb C}[x]\text{.}\) Lapangan pemisah \(L\) dari \(f(x)\) merupakan perluasan hingga, normal, dan separabel dari \({\mathbb C}\) yang memuat \(E\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa \(L\) mustahil merupakan perluasan sejati dari \({\mathbb C}\text{.}\)

Andaikan \(L\) merupakan perluasan sejati dari \({\mathbb C}\text{.}\) Karena \(L\) merupakan lapangan pemisah dari \(f(x) = (x^2 + 1)\) atas \({\mathbb R}\text{,}\) \(L\) merupakan perluasan hingga, normal, dan separabel dari \({\mathbb R}\text{.}\) Misalkan \(K\) lapangan tetap dari suatu subgrup Sylow \(2\text{,}\) yaitu \(G\text{,}\) dari \(G(L/{\mathbb R})\text{.}\) Maka \(L \supset K \supset {\mathbb R}\) dan \(|G( L / K )| =[L:K]\text{.}\) Karena \([L : {\mathbb R}] = [L:K][K:{\mathbb R}]\text{,}\) kita mengetahui bahwa \([K:{\mathbb R}]\) harus ganjil. Akibatnya, \(K = {\mathbb R}(\beta)\text{,}\) dengan \(\beta\) memiliki polinomial minimal \(f(x)\) berderajat ganjil. Oleh karena itu, \(K = {\mathbb R}\text{.}\)

Sekarang kita mengetahui bahwa \(G(L/{\mathbb R})\) harus merupakan suatu grup-\(2\text{.}\) Akibatnya, \(G(L / {\mathbb C})\) merupakan grup-\(2\text{.}\) Kita telah mengasumsikan bahwa \(L \neq {\mathbb C}\text{;}\) oleh karena itu, \(|G(L / {\mathbb C})| \geq 2\text{.}\) Menurut Teorema Sylow pertama dan Teorema Fundamental Teori Galois, terdapat suatu subgrup \(G\) dari \(G(L/{\mathbb C})\) berindeks \(2\) dan suatu lapangan \(E\) yang setiap elemennya ditetapkan oleh \(G\text{.}\) Maka \([E:{\mathbb C}] = 2\) dan terdapat elemen \(\gamma \in E\) dengan polinomial minimal \(x^2 + b x + c\) dalam \({\mathbb C}[x]\text{.}\) Polinomial ini memiliki akar \(( - b \pm \sqrt{b^2 - 4c}\, ) / 2\) yang berada dalam \({\mathbb C}\text{,}\) karena \(b^2 - 4 c\) berada dalam \({\mathbb C}\text{.}\) Ini mustahil; jadi, \(L = {\mathbb C}\text{.}\)