Kita akan membuktikan lema ini dengan induksi matematika pada
\(n\text{.}\) Kita dapat menggunakan rumus binomial (lihat
Contoh 2.1.4) untuk memverifikasi kasus
\(n = 1\text{;}\) yaitu,
\begin{equation*}
(a + b)^p = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} a^k b^{p - k}\text{.}
\end{equation*}
Jika \(0 \lt k \lt p\text{,}\) maka
\begin{equation*}
\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p - k)!}
\end{equation*}
harus dapat dibagi oleh \(p\text{,}\) karena \(p\) tidak dapat membagi \(k!(p - k)!\text{.}\) Perhatikan bahwa \(D\) merupakan daerah integral berkarakteristik \(p\text{,}\) sehingga semua suku dalam jumlah tersebut, kecuali suku pertama dan terakhir, harus nol. Oleh karena itu, \((a + b)^p = a^p + b^p\text{.}\)
Sekarang andaikan bahwa hasil tersebut berlaku untuk semua \(k\text{,}\) dengan \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Berdasarkan hipotesis induksi,
\begin{equation*}
(a + b)^{p^{n + 1}} = ((a + b)^p)^{p^{n}} = (a^p + b^p)^{p^{n}} = (a^p)^{p^{n}} + (b^p)^{p^{n}} = a^{p^{n + 1}} + b^{p^{n + 1}}\text{.}
\end{equation*}
Oleh karena itu, lema tersebut benar untuk \(n + 1\) dan bukti selesai.