Kita meninjau semua titik tetap \(x\) dari semua unsur \(g \in G\text{;}\) artinya, kita meninjau semua \(g\) dan semua \(x\) sedemikian sehingga \(gx =x\text{.}\) Jika dipandang dari segi himpunan titik tetap, banyaknya semua \(g\) yang menetapkan \(x\) adalah
\begin{equation*}
\sum_{g \in G} |X_g|\text{.}
\end{equation*}
Namun, jika dipandang dari segi subgrup penstabil, bilangan ini adalah
\begin{equation*}
\sum_{x \in X} |G_x|;
\end{equation*}
jadi,
\(\sum_{g \in G} |X_g| = \sum_{x \in X} |G_x|\text{.}\) Berdasarkan
Lema 14.3.2,
\begin{equation*}
\sum_{y \in {\mathcal O}_x} |G_y| = | {\mathcal O}_x| \cdot |G_x|\text{.}
\end{equation*}
Berdasarkan
Teorema 14.1.11 dan Teorema Lagrange, ekspresi ini sama dengan
\(|G|\text{.}\) Dengan menjumlahkan atas semua
\(k\) orbit yang berbeda, kita menyimpulkan bahwa
\begin{equation*}
\sum_{g \in G} |X_g| = \sum_{x \in X} |G_x| = k \cdot |G|\text{.}
\end{equation*}